ANÁLISE COMBINATÓRIA
Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória.
Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}.
Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3}
Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321}
Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números.
A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos:
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Permutação simples
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Permutação com repetição
Confira a seguir uma definição resumida de cada tópico estudo pela análise combinatória.
Princípio fundamental da contagem
Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental.
Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí.
Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem.
m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui)
m x n = 3 x 4 = 12
Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha.
Fatorial
O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto:
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
Exemplo: Calcule 4!
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3)
4! = 4 . 3. 2 . 1
4! = 24
Permutação simples
Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão:
Pn = n!
Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1!
Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição?
Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F)
Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples,
acompanhe:
n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante)
Pn = n!
Pn = 3 . 2 . 1!
Pn = 6
Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.
Permutação com repetição
Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:
Pn(n1,n2,n3…nk)=n!n1!⋅n2!⋅n3!…nk!
Pn(n1,n2,n3…nk) = permutação com repetição
n! = total de elemetos do evento
n1!⋅n2!⋅n3!…nk! = Elementos repetidos do evento
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA.
A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1).
n! = 4!
n1! = 2!
Pn(n1)=n!n1!
Pn(n1)=4!2!
Pn(n1)=4⋅3⋅2⋅1!2⋅1!
Pn(n1)=242=12
Arranjo simples
No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos.
Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:
An,p=n!(n−p)!
A = Arranjo
n = elementos
p = Agrupamentos
No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja:
p≤n
Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição em que há premiação para os três primeiros colocados (1º, 2º e 3º). Quais são as possibilidades de premiação?
Quantidade de participantes da competição: n = 4
Quantidade de pessoas em cada agrupamento (premiação): p = 3
An,p=n!(n−p)!
A4,3=4!(4−3)!
A4,3=4⋅3⋅2⋅1!1!
A4,3=241=24
Existem 24 possibilidades de premiação.
Combinação simples
Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula:
Cn,p=n!p!⋅(n−p)!
C = Combinação
n = Elementos.
p = Agrupamento
Sendo sempre: p≤n
Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos
Total de bolinhas: n = 10
Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2
Cn,p=n!p!⋅(n−p)!
C10,2=10!2!⋅(10−2)!
C10,2=36288002⋅(8)!
C10,2=36288002⋅(40320)
C10,2=362880080640=45
Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações.
